专题05 利用导数证明函数不等式（二）-2020高考数学尖子生辅导专题

专题五 利用导数证明函数不等式（二） 专题五 利用导数证明函数不等式（二） 本专题总结了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力． 模块1 整理方法 提升能力 对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以下4种： 方法1：利用换元法，化归为一个未知数 方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数 方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明 方法4：利用主元法，构造函数证明 对数平均值不等式链 我们将两个正数 和 的对数平均值定义为： ，对数平均值不等式链为： ． 对数平均值不等式链的指数形式为： ，其中 ． 例1 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ． 【解析】（1）定义域为 ， ． ①若 ，则 ， 在 上递减． ②若 ，即 时， ， 在 上递减． ③若 ，即 时，由 ，可得 ，由 ，可得 或 ，所以 在 ， 上递减，在 上递增． 综上所述，当 时， 在 上递减；当 时， 在 ， 上递减，在 上递增． 【证明】（2）法1：由（1）知， 存在两个极值点，则 ．因为 ， 是 的两个极值点，所以 ， 满足 ，所以 ， ，不妨设 ． ，于是 ．构造函数 ， ，由（1）知， 在 上递减，所以 ，不等式获证． 法2：由（1）知， 存在两个极值点，则 ．因为 ， 是 的两个极值点，所以 ， 满足 ，不妨设 ，则 ， ． ，于是 ． 设 ，则 ，构造函数 ， ，则 ，所以 在 上递增，于是 ，命题获证． 法3：仿照法1，可得 ，因为 ，所以 ，令 ，构造函数 ，由（1）知， 在 上递减，所以 ，不等式获证． 【点评】 、 和 之间的关系为 ， ，我们可以利用其关系式对不等式进行消元，化归为只含有一个未知数的不等式．法1消去 和 留下 ，法2消去 和 留下 ，由于所证的不等式等价于 ，该不等式不含 ，因此法1比法2简单． 由等价的不等式 ，容易联想到对数平均值不等式 ，将不等式进一步改造后，通过换元化归为只含一个未知数的不等式． 例2 已知函数 ， ． （1）设 ，讨论曲线 与曲线 （ ）公共点的个数； （2）设 ，比较 与 的大小，并说明理由． 【解析】（1） 与 的公共点的个数等价于 与 的公共点的