专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想． 模块1 整理方法 提升能力 曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下 种： 1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法． 2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数 、 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法． 3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 、 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了 个未知数与参数，要得到未知数 与 之间的关系，需要找 个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况． 例1 已知点 ，圆 ： ，过点 的动直线 与圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点． （1）求 的轨迹方程； （2）当 时，求 的方程及△ 的面积． 【解析】（1）法1（定义法）：圆心 ，由垂径定理可知 ，于是点 在以 为直径的圆上，所以 的轨迹方程为 ，即 ． 法2（直接法）：设 的坐标为 ，由 可得 ． ， ，于是 ，即 ． 法3（参数法）：当 的斜率不存在时，其直线方程为 ，于是 ，所以点 的坐标为 ． 当 的斜率存在时，设直线方程为 ， ．联立 消去 可得 ，于是 ，将 代入，消去参数 ，可得 ，整理可得 （ ）． 综上所述， 的轨迹方程为 ． （2）法1：由 可知点 在以原点为圆心， 为半径的圆上．联立 ，解得 ，于是点 的坐标为 ，于是直线