专题07 圆锥曲线中的最值与范围-2020高考数学尖子生辅导专题

专题七 圆锥曲线中的最值与范围 专题七 圆锥曲线中的最值与范围 “以能力立意命题”是考试大纲总的要求，也是高考命题总的方向．对学生能力的考察离不开思想方法的考察，在圆锥曲线的背景下讨论最值或范围问题，能系统的将函数与方程的思想、数形结合思想等多种数学思想结合在一起，更利于综合考察学生的能力． 模块1 整理方法 提升能力 圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法： 方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解． 方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式． 方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围． 上述三种方法中，方法 主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见． 例1 已知抛物线 的顶点为 ，焦点为 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线交抛物线 于 、 两点，若直线 、 分别交直线 ： 于 、 两点，求 的最小值． 【解析】（1）由题意可设抛物线 的方程为 （ ），则 ，即 ，所以抛物线 的方程为 ． （2）设 ， ，直线 的方程为 ．由 ，消去 ，可得 ，从而 ， ， ．由 ，解得点 的横坐标为 ，同理可得点 的横坐标为 ．由弦长公式可得 ，于是 ，其中 ． 法1：令 ，则 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ， ，当 ，即 ， 时， 有最小值 ，所以 有最小值 ． 法2： ，令 ，则 ，所以 ，所以 ．当 时， ， 取负数时，有 ，所以 ．于是当 ，即 ， 有最小值 ，所以 有最小值 ． 【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个（或两个）参数去表示目标函数．我们常常可以从直线的斜率、截距、点的坐标等角度引进参数，然后根据题目所给的条件消去参数，直至剩下一个参数或两个参数（以一个参数的情况占绝大多数）．本题总共引进了7个参数： 、 、 、 、 、 和 ，