专题09 圆锥曲线中的探究性问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题八 圆锥曲线中的探究性问题 专题九 圆锥曲线中的探究性问题 近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高． 模块1 整理方法 提升能力 圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证． 例1 椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 ．过 的直线交椭圆于 、 两点，且△ 的周长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设动直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ．试探究：在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为 ，即 ，而 ，所以 ， ．又因为 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为 ． （2）法1：假设平面内存在定点 满足条件，由对称性可知点 必在 轴上，设 ． 由 ，消去 可得 ，因为直线 与椭圆有且只有一个公共点，所以 ，即 ．设 ，则 ， ，所以 ．联立 ，可得 ． 因为 ， ，由 可得 ，整理可得 ，由 解得 ，所以存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ． 法2：假设平面内存在定点 满足条件，由对称性可知点 必在 轴上．若直线 为 ，则 ， ，以 为直径的圆为 ，与 轴交于点 和 ．下面进行验证． 由 ，消去 可得 ，因为直线 与椭圆有且只有一个公共点，所以 ，即 ．设 ，则 ， ，所以 ．联立 ，可得 ． 因为 ， ，所以 ．因为 ， ，所以 ． 综上所述，存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ． 【点评】由对称性得到：如果存在定点 ，则 一定在 轴上，由此可减少未知数的引入，降低题目的难度．法2是根据对称性和选取特殊情况 ，求出具