专题九：相似三角形的存在性问题探究-2020中考数学专题突破

专题九：相似三角形的存在性问题探究 ( 专题导入 ) 导例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向终点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向终点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．当一个点到达终点时，两点都停止移动，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）．当t= s时，△APQ与△ABC相似？ ( 方法点睛 ) 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小. ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解. 导例答案：或. ( 典例精讲 ) 类型一：已知两定点来建构三角形与已知三角形相似 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值； （3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式； （2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值； （3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解． 类型二：动点产生的三角形相似问题 例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为每秒1厘米． (1)设点Q的运动速度为每秒厘米，运动时间为t秒，当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标； (2)设点Q的运动速度为每秒a厘米，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)依据三角形相似，可以得到比例线段，从而建构相应的方程，从而得到点Q的坐标； （2）利用相似，得到比例线段，解关于a，t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可以求得． ( 专题过关 ) 1． 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）． （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标． 2．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B的抛物线与x轴的另一个交点为C（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求△PBC周长的最小值及此时点P坐标； （3）在线段AB上是否存在点Q，使△ACQ与△AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到E，使∠CAE=∠CDE，作∠DCG=∠ACE，其中G点在DE上． （1）如图 ①，若∠B=45°则 ； （2）如图 ②，若=，求tan∠B的值； （3）如图 ③，若∠ABC=60°，延长CG至点M，使得MG=GC，连接AM，BM，在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度和取得最小值？ 4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0），B（1，0）． （1）求出抛物线的解析式； （2）点D是直线AC上方的抛物线上的一点，求△DCA面积的最大值； （3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F，G． （1）求CD的长； （2）若点M是线段AD的中点，求的值； （3