专题1.2 平面向量-2019-2020学年高一数学上学期期末考试总动员（苏教版）

高一数学2019-2020年度第一学期期末考试总动员（苏教版） 第一篇 回顾基础篇 　　　　　　　　　　　　　　专题1.2平面向量（苏教版）　 必考题型一　平面向量的概念及线性运算 【基础知识】 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个向量记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1)λ(μa)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【重要结论】 1．零向量与任何向量共线． 2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±. 3．若存在非零实数λ，使得，则A，B，C三点共线． ＝λ或＝λ或＝λ 4．首尾相连的一组向量的和为0. 5．若P为AB的中点，则)． ＋(＝ 6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 【典型命题】 例1　(1)给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②单位向量都相等； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形； ＝ ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是　　　. (2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＝0成立的是(　　) ＋ A．a⊥b　　　 B．a∥b C．a＝2b　　　 D．a＝－b [引申]若本例(1)⑤中的实数λ，μ满足λ2＋μ2≠0，该结论是否正确？ 【方法与技巧】 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (4)非零向量a与是a方向上的单位向量．的关系是： 例2　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　) ＋＋＋ A．　　　　　　　 B．2 C．3　　　 D．4 (2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－　　　 B．－ C．＋　　　 D．＋ 【方法与技巧】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义． (2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则． (3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数． (4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 例3　设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； ＝2a＋8b，＝a＋b， (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． [引申]本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝－1；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝　　　. 【方法与技巧】平面向量共线的判定方法 (1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 例4　下列命题正确的是⑤.(填序号) ①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa； ②在△ABC中，＝0； ＋＋ ③不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立； ④只有方向相同或相反的向量是平行向量； ⑤若向量a，b不共线，则