专题10 圆锥曲线综合问题（专项训练）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题10 圆锥曲线综合问题（专项训练） 1．已知双曲线C1与椭圆＋＝1有相同的焦点，并且经过点. (1)求C1的标准方程； (2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围． 2．(2019·汕头期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求证：y1y2为定值； (2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由． 4．已知长轴长为4的椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P，点F是椭圆的右焦点． (1)求椭圆方程； (2)是否存在x轴上的定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点．设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切． (1)求椭圆C的方程； (2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标． 6．(2019·湖南师大附中期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题10 圆锥曲线综合问题（专项训练） 1．已知双曲线C1与椭圆＋＝1有相同的焦点，并且经过点. (1)求C1的标准方程； (2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)依题意，双曲线C1的焦点坐标为F1(－4,0)，F2(4,0)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝＝4，即a＝2，又因为c＝4，所以b2＝c2－a2＝12. 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由得(3－k2)x2＋2kx－13＝0，设该方程的两根分别为x1，x2，则解得－<k<－.故k的取值范围是. 2．(2019·汕头期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，① 又点P在椭圆C上，所以＋＝1，② 由①②可解得a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，因为Δ＝16(12k2－3)＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，即(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.所以直线l的斜率k的取值范围为∪ 3．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求证：y1y2为定值； (2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：设直线AB的方程为my＝x－2，由得y2－4my－8＝0，所以y1y2＝－8. 因此有y1y2＝－8为定值． (2)设存在直线l：x＝a满足条件，则AC的中点E，|AC|＝.点A在抛物线上，所以y＝4x1，因此以AC为直径的圆的半径r＝|AC|＝＝，又点E到直线x＝a的距离d＝.故直线l被圆截得的弦长为2＝2＝＝.当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x＝1. 4．已知长轴长为4的椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P，点F是椭圆的右焦点． (1)求椭圆方程； (2)是否存在x轴上的定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点．设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意知2a＝4，所以