专题12 函数的单调性的研究-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题12 函数的单调性的研究 一、题型选讲 题型一 求函数的单调区间 利用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求出的导函数 （3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间（4）列出表格 例1、求函数的单调区间 例2、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2. (1) 求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图像相切的直线l的方程； (2) 若a>0，求函数φ(x)＝|g(x)－2a2f(x)|在区间 题型二 给定区间的单调性 已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号。 例3、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________． 例4、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1) 若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>ex； (2) 若f(x)在[－1，1]上是单调递增函数，求a的取值范围； 题型三 含参区间的讨论 求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解。当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。 例5、(2019镇江期末）己知函数f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)． (1) 若a＝1，b＝1，求函数f(x)的图像在x＝1处的切线方程； (2) 若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间； 例6、（2017常州期末）已知函数f(x)＝lnx－x－，a∈R. (1) 当a＝0时，求函数f(x)的极大值； (2) 求函数f(x)的单调区间； 二、达标训练 1、(2019苏锡常镇调研）已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为 ． 2、（2018徐州期末）函数的单调区间 3、（2018年泰州期中），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______ 4、(2018苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，g(x)＝lnx. (1) 若a＝0，b＝－2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c的取值范围； (2) 若b＝－3，且函数y＝f(x)在区间(－1，1)上是单调递减函数． ①求实数a的值； 5、(2018常州期末）已知函数f(x)＝，其中a为常数． (1) 若a＝0，求函数f(x)的极值； (2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围； 6、(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝(x＋1)lnx＋ax(a∈R)． (1) 若y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋b＝0，求实数a，b的值； (2) 设函数g(x)＝，x∈(其中e为自然对数的底数)． ①当a＝－1时，求g(x)的最大值； ②若h(x)＝是单调递减函数，求实数a的取值范围． 3 / 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题12 函数的单调性的研究 一、题型选讲 题型一 求函数的单调区间 利用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求出的导函数 （3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间（4）列出表格 例1、求函数的单调区间 解： 令，即解不等式，解得 ↘ ↗ ↘ 的增单调区间为，减区间为， 例2、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2. (1) 求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图像相切的直线l的方程； (2) 若a>0，求函数φ(x)＝|g(x)－2a2f(x)|在区间 规范解答 (1)因为f(x)＝lnx，所以f ′(x)＝ (x＞0)． 设直线l与函数f(x)的图像相切于点(x0，y0)， 则直线l的方程为 y－y0＝(x－x0)， 即 y－lnx0＝(x－x0). (3分) 因为直线l经过点(0，0)， 所以0－lnx0＝(0－x0)，即lnx0＝1，解得x0＝e. 因此直线l的方程为 y＝x，即x－ey＝0. (6分) (2)考察函数H(x)＝g(x)－2a2f(x)＝x2－2a2lnx. H′(x)＝2x－＝ (x≥1)． 因为a＞0，故由H′(x)＝0，解得x＝a.(8分) ①当0＜a≤1时，H′(x)≥0在(11分) ②当a＞1时，H(x)在区间 （01）上递减 ，在区间为递增区间(16分) 题型二 给定区间