专题13 函数的零点的问题-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题13 函数的零点的问题 一、题型选讲 题型一 函数零点问题中参数的范围 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题． (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________． 例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R. 若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围． 例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax3＋bx2－4a(a，b∈R)． (1) 当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间； (2) 当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值； 题型二 函数零点个数证明与讨论 函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。 例4、(2017南通一调）已知函数f(x)＝ax2－x－lnx，a∈R. (1) 当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2) 若－1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点； (3) 若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 例5、（2016南通一调）已知函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)． (1) 求f(x)的单调区间； (2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论． 题型三 函数零点问题的不等式的证明 函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。 例6、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R. 当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2 (x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2. 例7、(2016泰州期末）已知函数f(x)＝ax4－x2，x∈(0，＋∞)，g(x)＝f(x)－f′(x)． (1) 若a>0，求证： ①f(x)在f′(x)的单调减区间上也单调递减； ②g(x)在(0，＋∞)上恰有两个零点； (2) 若a>1，记g(x)的两个零点为x1，x2，求证：4<x1＋x2<a＋4. 二、达标训练 1、(2019常州期末）已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝alnx＋1(a∈R)． (1) 若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程； (2) 若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围； 2、(2019镇江期末）己知函数f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)． (1) 若a＝1，b＝1，求函数f(x)的图像在x＝1处的切线方程； (2) 若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间； (3) 若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1<x2，不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)恒成立，求实数m的取值范围． 3、(2015无锡期末）设函数f(x)＝x2lnx－ax2＋b在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝－x＋b. (1) 求实数a及x0的值； (2) 求证：对任意实数b∈，函数f(x)有且仅有两个零点． 4、(2017苏北四市一模）设函数f(x)＝lnx－ax2＋ax，a为正实数． (1) 当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2) 求证：f≤0； (3) 若函数f(x)有且只有1个零点，求a的值． 5、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)． (1) 讨论f(x)的单调性； (2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2. ①求实数a的取值范围； ②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2. 6、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1) 若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>ex； (2) 若f(x)在[－1，1]上是单调递增函数，求a的取值范围； (3) 当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋