专题08 立体几何综合问题（专项训练）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题08 立体几何综合问题（专项训练） 1．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2. (1)求证：BD⊥平面ACFE； (2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小． 2．(2019·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBAD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值． 3．(2019·湖北武汉调考)如图， 四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值． 4．(2019·安徽江南名校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点． (1)求证：DE∥平面BPC； (2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，请说明理由． 5．(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点． (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小． 6．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题08 立体几何综合问题（专项训练） 1．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2. (1)求证：BD⊥平面ACFE； (2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小． 【答案】见解析 【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE.因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACFE. (2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝＝＝.因为a>0，所以解得a＝3.所以＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，所以cos〈，〉＝＝＝.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为. 2．(2019·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBAD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：因为OB＝OC，又因为∠ABC＝，所以∠OCB＝，所以∠BOC＝，即CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，所以PO⊥OC.又因为PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，所以CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PBAD.又CO⊂平面COD，所以平面PBAD⊥平面COD. (2)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 设|OA|＝1，则|PO|＝|OB|＝|OC|＝2，|DA|＝1.则C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0，－1,1)，所以＝(0，－1，－1)，＝(2，－2,0)，＝(0，－3,1)．设平面BDC的法向量为n＝(x，y，z)，所以所以令y＝1，则x＝1，z＝3，所以n＝(1,1,3)．设PD与平面BDC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为. 3．(2019·湖北武汉调考)如图， 四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值． 【答案】见解析 【解析】方法一　(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 则D(1,0,0)，A(2,2