专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲） -2020年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

2020年高考数学一轮复习讲练测 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲） 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 知识点一：平面向量基本定理及其应用 平面向量基本定理 如果 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 ，有且只有一对实数 ，使 .其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点二：平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 ，这样，平面内的任一向量 都可由x、y唯一确定，因此把 叫做向量 的坐标，记作 ，其中x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标． (2)若 ，则 ． 3．平面向量的坐标运算 (1)若 ，则 ； (2)若 ，则 ． (3)设 ，则 ， . 知识点三：平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 若 ，则 ⇔ 考点一： 平面向量基本定理及其应用 【典例1】 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝，＝，若＝2，则＝________(用向量和表示)． 【变式1】 如图，已知＝，用，表示，则等于 . 【思想方法】 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 2.特别注意基底的不唯一性： 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 【温馨提醒】基底不共线 考点二：平面向量的坐标运算 【典例2】 已知平面向量=，=，则2+3= . 【变式2】 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 . 【思想方法】涉及平面向量坐标运算的题目，往往与平面解析几何曲线方程有关.灵活应用曲线的方程，联立方程组，利用函数方程思想予以解答. 【温馨提醒】注意向量坐标与点的坐标的区别： 要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息． 考点三：平面向量共线的坐标表示 【典例3】 已知平面向量，且，则 . 【变式3】 设向量=，=，则“”是“//”的 条件. 【思想方法】1.向量共线的充要条件有两种： （1）⇔. （2）若，则⇔. 当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便. 2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.. 【温馨提醒】注意结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解． $$ 2020年高考数学一轮复习讲练测 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲） 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 知识点一：平面向量基本定理及其应用 平面向量基本定理 如果 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 ，有且只有一对实数 ，使 .其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点二：平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 ，这样，平面内的任一向量 都可由x、y唯一确定，因此把 叫做向量 的坐标，记作 ，其中x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标． (2)若 ，则 ． 3．平面向量的坐标运算 (1)若 ，则 ； (2)若 ，则 ． (3)设 ，则 ， . 知识点三：平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 若 ，则 ⇔ 考点一： 平面向量基本定理及其应用 【典例1】 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝，＝，若＝2，则＝________(用向量和表示)． 【答案】 【解析】∵＝，∴，且，∴＝＝ (＋) ＝＝. 【变式1】 如图，已知＝，用，表示，则等于 . 【答案】－＋ 【解析】＝＋＝