专题六 二次函数与幂函数-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题六　二次函数与幂函数

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2016~2018 对应学生用书起始页码P22

1.(2016全国2,文12,5分,难度★★★)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0 B.m C.2m D.4m

答案 B　由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称.

当m为偶数时,xi=2×=m;

当m为奇数时,xi=2×+1=m,故选B.

2.(2016浙江,文6,5分,难度★★)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案 A　∵f(x)=x2+bx=,

∴当x=-时,f(x)取最小值-.

令t=f(x),则t≥-,

∴f(t)=t2+bt.

∵对称轴为t=-,又t≥-,

∴当-≤-,即b≤0或b≥2时,f(t)的最小值在t=-处取得,且f(t)的最小值与f(x)的最小值相等.

综上,可知b<0是f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等的充分不必要条件.

3.(2018天津,文14,5分,难度★★★★)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　　. 

答案 　当x>0时,f(x)≤|x|可化为-x2+2x-2a≤x,即+2a-≥0,所以a≥;

当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|可化为x2+2x+a-2≤-x,即x2+3x+a-2≤0.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x≤0时,y≤0,所以当x=0时,y≤0,即a-2≤0,所以a≤2.

综上所述,a的取值范围为.

4.(2018浙江,15,6分,难度★★★)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　　　　. 

答案 (1,4)　(1,3]∪(4,+∞)　当λ=2时,f(x)=

当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,

∴2≤x<4.

当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,

∴1<x<2.

综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1,4).

分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,

由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.

故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).

5.(2017北京,文11,5分,难度★★)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是　　　　　. 

答案 　x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=时,x2+y2取最小值.因此x2+y2的取值范围为.

　(2016全国3,文7,5分,难度★★)已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c B.a<b<c 

C.b<c<a D.c<a<b

答案 A　因为a=,c=2,b=,

且函数y=在[0,+∞)内是增函数,

所以,即b<a<c.故选A.

 

 

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1.二次函数解析式的三种表示法

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是;

(2)顶点式:y=a(x-x0)2+h(a≠0),图象的对称轴是直线x=x0,顶点坐标是(x0,h);

(3)两根式:y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是直线x=.

注意:对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.

2.二次函数的图象与性质