专题九 函数与方程-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题九　函数与方程、函数的应用

对应学生用书起始页码P36

 

2016~2018 对应学生用书起始页码P36

　(2017全国3,文12,5分,难度★★★)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A.- B. 

C. D.1

答案 C　∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]

=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)

=x2-2x+a(ex-1+e-x+1).

∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.

∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.

　(2016四川,文7,5分,难度★★)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)

A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年

答案 B　设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,

由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>.

两边取常用对数得nlg 1.12>lg,

∴n>=3.8.

∴n≥4,故选B.

 

 

对应学生用书起始页码P36

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

注意:函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

(3)零点存在性定理

如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

注意:函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

2.常见的几种函数模型

(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0).

(2)反比例函数模型:y=(k≠0).

(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).

(4)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0).

(5)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0).

3.指数、对数、幂函数模型性质比较

 

 

知识扩展 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)(m<n<p为常数)零点的分布

 

对应学生用书起始页码P37

一、判断函数零点所在区间的方法

 

(1)设x0是方程的解,则x0所在的范围是(　　)