专题十 导数-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十　导数

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2016~2018 对应学生用书起始页码P40

1.(2018全国1,文6,5分,难度★★)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

答案 D　因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.

由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.

2.(2018全国2,文13,5分,难度★)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为　　　　　. 

答案 y=2x-2　∵y'=(2ln x)'=,∴当x=1时,y'=2.∴切线方程为y=2(x-1),即y=2x-2.

3.(2017全国1,文14,5分,难度★★)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为　　　　　. 

答案 y=x+1　设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.

4.(2016全国3,文16,5分,难度★★)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　　. [来源:学*科*网]

答案 y=2x　当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x.

因为f(x)为偶函数,

所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.

因为f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,

所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

1.(2018天津,文10,5分,难度★★)已知函数f(x)=exln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　　　　　. 

答案 e　∵f(x)=exln x,∴f'(x)=exln x+.

∴f'(1)=eln 1+=e.

2.(2016天津,文10,5分,难度★★)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为　　　　　. 

答案 3　∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.

3.(2016全国2,文20,12分,难度★★★)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).

(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.

解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,

f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f'(x)=ln x+-3,f'(1)=-2,f(1)=0.

曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.

(2)当x∈(1,+∞)时,

f(x)>0等价于ln x->0.

设g(x)=ln x-,则g'(x)=,g(1)=0.

(ⅰ)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,

故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,

因此g(x)>0;

(ⅱ)当a>2时,令g'(x)=0得

x1=a-1-,x2=a-1+.

由x2>1和x1x2=1得x1<1,

故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,

因此g(x)<0.

综上,a的取值范围是(-∞,2].

 

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1.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数值f'(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,即k=f'(x0).

2.基本初等函数的导数公式

 

 

续　表

 

3.导数的运算法则

若f'(x),g'(x)存在,则有:

(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);

(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

(3)'=(g(x)≠0).

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一、导数的几何意义应用规律