专题十一 导数的应用（一）-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十一　导数的应用(一)

对应学生用书起始页码P43

 

2016~2018 对应学生用书起始页码P43

1.(2016全国1,文12,12分,难度★★★★)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A.[-1,1] B.

C. D.

答案 C　由题意,可知f(x)=x-sin xcos x+asin x,故f'(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+.

因为f(x)在R上单调递增,所以f'(x)=-cos2x+acos x+≥0在R上恒成立.

(方法一)则由题意可得,当cos x=1时,f'(x)≥0,

当cos x=-1时,f'(x)≥0,

即解得-≤a≤.

(方法二)令t=cos x∈[-1,1],

当t=0时,>0恒成立;当0<t≤1时,a≥t-.

令h(t)=t-,则h'(t)=>0,

所以h(t)在(0,1]上单调递增.

所以h(t)max=h(1)=-.所以a≥-.

当-1≤t<0时,a≤t-.

令g(t)=t-,则g'(t)=>0,

所以g(t)在[-1,0)上单调递增.

所以g(t)min=g(-1)=,所以a≤.

综上,-≤a≤.

2.(2017全国1,文21,12分,难度★★★★)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

解 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).

①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.

②若a>0,则由f'(x)=0得x=ln a.

当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.

③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln.

当x∈时,f'(x)<0;

当x∈时,f'(x)>0.[来源:学科网]

故f(x)在单调递减,

在单调递增.

(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.

②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0.

③若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2.

从而当且仅当a2≥0,

即a≥-2时f(x)≥0.

综上,a的取值范围是[-2,1].

1.(2018天津,文20,14分,难度★★★★★)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.

(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)若d=3,求f(x)的极值;

(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.

解 (1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.

(2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f'(x)=3x2-6t2x+3-9.令f'(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

 

所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3-9×=-6.

(3)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解.令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6=0.

设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.

g'(x)=3x2+(1-d2).

当d2≤1时,g'(x)≥0,这时g(x)在R上单调递增,不合题意.

当d2>1时,令g'(x)=0,解得x1=-,x2=.

易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.

g(x)的极大值g(x1)=g+6>0.

g(x)的极小值g(x2)=g=-+6.

若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.

若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.

所以,d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).

2.(2017北京,文20,12分,难度★★★)已知函数f(x)=excos x-x.