专题十一 导数的应用（一）-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十一　导数的应用(一) 对应学生用书起始页码P43 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.了解函数单调性和导数的关系.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 23.导数与函数的单调性 3年2考 ★★☆ 数学抽象 数学计算 1.高频考向:利用导数求解函数的单调性、极值和最值. 2.低频考向:利用导数解决某些实际问题. 3.特别关注: 已知函数的单调性求参数范围问题. 24.导数与函数的极值与最值 3年0考 ☆☆☆ 数学抽象 数学计算 2016~2018 对应学生用书起始页码P43 1.(2016全国1,文12,12分,难度★★★★)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.[-1,1] B. C. D. 答案 C　由题意,可知f(x)=x-sin xcos x+asin x,故f'(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+. 因为f(x)在R上单调递增,所以f'(x)=-cos2x+acos x+≥0在R上恒成立. (方法一)则由题意可得,当cos x=1时,f'(x)≥0, 当cos x=-1时,f'(x)≥0, 即解得-≤a≤. (方法二)令t=cos x∈[-1,1], 当t=0时,>0恒成立;当0<t≤1时,a≥t-. 令h(t)=t-,则h'(t)=>0, 所以h(t)在(0,1]上单调递增. 所以h(t)max=h(1)=-.所以a≥-. 当-1≤t<0时,a≤t-. 令g(t)=t-,则g'(t)=>0, 所以g(t)在[-1,0)上单调递增. 所以g(t)min=g(-1)=,所以a≤. 综上,-≤a≤. 2.(2017全国1,文21,12分,难度★★★★)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增. ②若a>0,则由f'(x)=0得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增. ③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln. 当x∈时,f'(x)<0; 当x∈时,f'(x)>0.[来源:学科网] 故f(x)在单调递减, 在单调递增. (2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0. ②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0. ③若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2. 从而当且仅当a2≥0, 即a≥-2时f(x)≥0. 综上,a的取值范围是[-2,1]. 1.(2018天津,文20,14分,难度★★★★★)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值; (3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围. 解 (1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0. (2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f'(x)=3x2-6t2x+3-9.令f'(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞, t2-) t2- (t2-, t2+) t2+ (t2+, +∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×