专题十六 三角恒等变换-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十六　三角恒等变换

对应学生用书起始页码P66

 

2016~2018 对应学生用书起始页码P66

1.(2018全国1,文11,5分,难度★★★)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(　　)[来源:Zxxk.Com]

　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.1

答案 B　因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tan α=±.

由于a,b的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=,

由三角函数定义得a=,b=,故|a-b|=.

2.(2018全国3,文4,5分,难度★★)若sin α=,则cos 2α=(　　)

A. B. C.- D.-

答案 B　cos 2α=1-2sin2α=1-2×.

3.(2017全国3,文4,5分,难度★★)已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A.- B.- 

C. D.

答案 A　sin 2α=2sin αcos α==-.故选A.

4.(2018全国2,文15,5分,难度★★)已知tan,则tan α=　　　　　. 

答案 　∵tan,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.

5.(2017全国1,文15,5分,难度★★)已知α∈,tan α=2,则cos=　　　　　. 

答案 　由tan α=2,得sin α=2cos α.

又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.

因为α∈,所以cos α=,sin α=.

因为cos=cos αcos+sin αsin,

所以cos.

6.(2016全国1,文14,5分,难度★★)已知θ是第四象限角,且sin,则tan=　　　　　. 

答案 -　∵sin,

∴cos=cos

=sin.

又θ是第四象限角,

∴θ-是第三或第四象限角.

∴sin=-.

∴tan=-.

　(2017浙江,18,5分,难度★★)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).

(1)求f的值;

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解 (1)由sin,cos=-,

f-2,

得f=2.

(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

 

对应学生用书起始页码P67

1.两角和与差的三角函数公式

(1)两角和与差的正弦公式:sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,α,β∈R; 

(2)两角和与差的余弦公式:cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β,α,β∈R; 

(3)两角和与差的正切公式:tan(α±β)=,α,β,α±β≠+kπ(k∈Z);

(4)两角和与差的正切公式的逆用:

tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);

tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).

2.二倍角公式

(1)二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin αcos α; 

(2)二倍角的余弦公式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;

(3)二倍角的正切公式:tan 2α=;

(4)降幂公式:sin αcos α=sin 2α;sin2α=;cos2α=;

(5)升幂公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α;

(6)sin 2α=;cos 2α=.