专题十七 解三角形-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十七　解三角形

对应学生用书起始页码P70

 

2016~2018 对应学生用书起始页码P70

1.(2017全国1,文11,5分,难度★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. 

C. D.

答案 B　由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A·(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1.因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理,得,即sin C=,所以C=.故选B.

2.(2016全国1,文4,5分,难度★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=(　　)

A. B. C.2 D.3

答案 D　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,

即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,

又b>0,解得b=3.故选D.

3.(2017全国3,文15,5分,难度★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　　. 

答案 75°　由正弦定理得,即sin B=.因为b<c,所以B<C,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.

4.(2016全国2,文15,5分,难度★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　　. 

答案 　因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,

所以sin A=,sin C=.

sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C=.

又因为,

所以b=.

1.(2018全国2,文7,5分,难度★★)在△ABC中,cos ,BC=1,AC=5,则AB=(　　)

A.4 B. 

C. D.2

答案 A　∵cos C=2cos2-1=-,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32.

∴AB=4.

2.(2018全国3,文11,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(　　)

A. B. 

C. D.

答案 C　由S=absin C,得c2=a2+b2-2absin C.

又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,

∴sin C=cos C,即C=.

3.(2016全国3,文9,5分,难度★★)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=(　　)

A. B. 

C. D.

答案 D　(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,

则由题意得S△ABC=a·a=acsin B,c=a.

由正弦定理,得sin C=sin A.

∵C=-A,∴sin C=sinsin A,

即cos A+sin A=sin A,

整理得sin A=-3cos A.

∵sin2A+cos2A=1,

∴sin2A+sin2A=1,

即sin2A=,解得sin A=(排除负值).故选D.

(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,[来源:学.科.网Z.X.X.K]

则由题意得S△ABC=a·acsin B,

∴c=a.

∴b2=a2+-2a·,

即b=.

由正弦定理得sin A=.故选D.

4.(2018全国1,文16,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　　. 

答案 　由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以=2a,设△ABC的外接圆半径为R,则=2R,所以a=R.

因为b2+c2-a2=8>0,

所以cos A>0,0<A<,

因为=2R,