专题十九 平面向量的数量积及其应用-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选
专题十九 平面向量的数量积及其应用
对应学生用书起始页码P80
考纲内容 | 高考考点 | 考查频度 | 学科素养 | 规律与趋向 |
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量数量积与向量投影的关系. 2.掌握平面向量数量积的坐标表达式. 3.会进行平面向量数量积的运算. | 42.平面向量的数量积 | 3年1考 ★☆☆ | 数学抽象 数学运算 | 1.高频考向:平面向量的数量积、模或夹角相结合. 2.低频考向:平面向量在平面几何、解析几何中的简单应用. 3.重点关注: (1)求数量积、模或夹角的最值或范围; (2)平面向量与三角函数相结合的解答题. |
1.能运用数量积表示两个向量的夹角. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. | 43.平面向量的长度与角度 | 3年1考 ★☆☆ | 逻辑推理 数学运算 | |
1.会用向量方法解决某些简单的几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. | 44.平面向量的应用问题 | 3年0考 ☆☆☆ | 数学建模 数学运算[来源:学科网] |
2016~2018 对应学生用书起始页码P80
1.(201
8全国2,文4,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3
C.2 D.0
答案 B a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
2.(2018天津,文8,5分,难度★★★★)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,
=2
=2
,则
的值为( )
A.-15 B.-9
C.-6 D.0
答案 C 连接MN,∵=2=2,
∴
=3
=3
.
∴
=3(
)=3
=3(
).
∵OM=1,ON=2,∠MON=120°,
∴=3()·
=3(
-||2)
=3
=-6.
3.(2017北京,文12,5分,难度★★)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则
的最大值为 .
答案 
6 方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则
=(2,0),
=(cos α+2,sin α),=2cos α+4.
当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.
故的最大值为6.
方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,
故的最大值为6.
4.(2017天津,文14,5分,难度★★★)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若
=2
=λ
(λ∈R),且
=-4,则λ的值为 .
答案 
∵=2
,
∴
)=
.
又
=λ,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4,
∴
=3×2×
=3,
·(λ)=-4,
即
=-4.
∴
×4-
×9+
×3=-4,
即
λ-5=-4,
解得λ=.
(2016全国3,文3,5分,难度★)已知向量
,则∠ABC=( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
答案 A 因为,
所以
.
又因为
=|
|·|
|cos∠ABC
=1×1×cos∠ABC=cos∠ABC,
所以cos∠ABC=
,即∠ABC=30°.
故选A.
1.(2018浙江,9,5分,难度★★★)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为
,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )
A.
-1 B.+1
C.2 D.2-
答案 A ∵e为单位向量,b2-4e·b+3=0,
∴b2-4e·b+4e2=1.
∴(b-
2e)2=1.
以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.
=2e,
=b,
=a,α=.
由(b-2e)2=1,可知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上.
由|a-b|=|
|=||,
可知|a-b|的最小值即为||的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离.
又直线OA为y=x,点E为(2,0),
∴点E到直线OA的距离d=
.
∴||的最小值为-1,
即|a-b|的最小值为-1.
2.(2016四川,文9,5分,难度★★)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,
,则||2的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
设△ABC的外心为D,
则|
|=|
|=||=2.