专题十九 平面向量的数量积及其应用-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十九　平面向量的数量积及其应用 对应学生用书起始页码P80 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量数量积与向量投影的关系. 2.掌握平面向量数量积的坐标表达式. 3.会进行平面向量数量积的运算. 42.平面向量的数量积 3年1考 ★☆☆ 数学抽象 数学运算 1.高频考向:平面向量的数量积、模或夹角相结合. 2.低频考向:平面向量在平面几何、解析几何中的简单应用. 3.重点关注: (1)求数量积、模或夹角的最值或范围; (2)平面向量与三角函数相结合的解答题. 1.能运用数量积表示两个向量的夹角. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 43.平面向量的长度与角度 3年1考 ★☆☆ 逻辑推理 数学运算 1.会用向量方法解决某些简单的几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 44.平面向量的应用问题 3年0考 ☆☆☆ 数学建模 数学运算[来源:学科网] 2016~2018 对应学生用书起始页码P80 1.(2018全国2,文4,5分,难度★★)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.3 C.2 D.0 答案 B　a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 2.(2018天津,文8,5分,难度★★★★)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2=2,则的值为(　　) A.-15 B.-9 C.-6 D.0 答案 C　连接MN,∵=2=2, ∴=3=3. ∴=3()=3=3(). ∵OM=1,ON=2,∠MON=120°, ∴=3()· =3(-||2) =3=-6. 3.(2017北京,文12,5分,难度★★)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为　　　　　.  答案 6　方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),=2cos α+4. 当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6. 故的最大值为6. 方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4, 故的最大值为6. 4.(2017天津,文14,5分,难度★★★)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为　　　　　.  答案 　∵=2, ∴)=. 又=λ,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4, ∴=3×2×=3,·(λ)=-4, 即=-4. ∴×4-×9+×3=-4, 即λ-5=-4, 解得λ=. 　(2016全国3,文3,5分,难度★)已知向量,则∠ABC=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 A　因为, 所以. 又因为=||·||cos∠ABC =1×1×cos∠ABC=cos∠ABC, 所以cos∠ABC=,即∠ABC=30°. 故选A. 1.(2018浙江,9,5分,难度★★★)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 答案 A　∵e为单位向量,b2-4e·b+3=0, ∴b2-4e·b+4e2=1. ∴(b-2e)2=1. 以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图. =2e,=b,=a,α=. 由(b-2e)2=1,可知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上. 由|a-b|=||=||, 可知|a-b|的最小值即为||的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离. 又直线OA为y=x,点E为(2,0), ∴点E到直线OA的距离d=. ∴||的最小值为-1, 即|a-b|的最小值为-1. 2.(2016四川,文9,5分,难度★★)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,,则||2的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案 B　 设△ABC的外心为D, 则||=||=||=2. 以D为原点,直线DA为x轴,过点D的DA的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(-1,-),C(-1,). 设P(x,y),由已知||=1,得(x-2)2+y2=1, ∵, ∴M. ∴. ∴,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-3)距离平方的. ∴(||2)max=+1]2=.故选B. 高 考 考 点 错 题 统 计 强 化 练 习 42.平面向量的数量积