专题二十 数列的概念及其简单表示-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题二十　数列的概念及其简单表示 对应学生用书起始页码P85 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 45.数列的通项公式 3年3考 ★★★ 数学抽象 逻辑推理 数据分析 1.高频考向:利用an与Sn的关系求通项,递推数列求通项. 2.低频考向:数列的周期性、单调性及最值. 3.特别关注: (1)构造特殊数列求通项; (2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值. 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 46.数列性质的应用 3年0考 ☆☆☆ 数学抽象 数据分析 2016~2018 对应学生用书起始页码P85 1.(2018全国1,文17,12分,难度★★★)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 解 (1)由条件可得an+1=an. 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1. 2.(2017全国3,文17,12分,难度★★)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. 解 (1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,所以当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2.所以an=(n≥2). 又由题设可得a1=2, 从而{an}的通项公式为an=. (2)记数列的前n项和为Sn. 由(1)知. 则Sn=+…+. 3.(2016全国1,文17,12分,难度★★)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和. 解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2. 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=, 因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列. 记{bn}的前n项和为Sn, 则Sn=. (2016上海,文14,5分,难度★★★)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为　　　　　.  答案 4　当n=1时,a1=2或a1=3;当n≥2时,若Sn=2,Sn-1=2,于是an=0,若Sn=3,Sn-1=3,于是an=0,从而存在k∈N*,当n≥k时,ak=0.所以要涉及最多的不同的项数列{an}可以为2,1,-1,0,0,…,从而可看出kmax=4. 高 考 考 点 错 题 统 计 强 化 练 习 45.数列的通项公式 1□　2□　3□ A组:1,2,3,6,8 46.数列性质的应用 □ A组:4,5,7　B组:1,2,3,4 对应学生用书起始页码P86 1.数列的通项公式:若项an与项数n之间的关系可用公式an=f(n),n∈N*来表示,则该公式叫做数列{an}的通项公式.并不是每一个数列都有通项公式,有通项公式的数列,其通项公式也不一定唯一. 2.递推公式:如果已知数列{an}的首项(或某一项),且任一项an与它的前一项(或后一项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.利用递推公式可求数列的某一项,也可用来求数列的通项公式. 3.数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=. 当n=1时,若S1适合an=Sn-,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an中;若S1不适合an=Sn-,则用分段函数的形式表示. 注意:求解通项公式时应分类讨论n=1和n≥2两种情况. 对应学生用书起始页码P86 一、由递推公式求数列通项的方法 方法 解　　读 典例指引 累加法 对于形如-an=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)+f(2)+…+f(n)的和是可求的,可用多项式相加求得an,也称这种方法为叠加法 例1(1) 累乘法 对于形如=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)·f(2)·…·f(n)的积是可求的,则可用多项式相乘求得an,也称这种方法为叠乘法 例1(2) 构造法 ①形如=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-