专题二十 数列的概念及其简单表示-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题二十　数列的概念及其简单表示

对应学生用书起始页码P85

 

2016~2018 对应学生用书起始页码P85

1.(2018全国1,文17,12分,难度★★★)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.

(1)求b1,b2,b3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求{an}的通项公式.

解 (1)由条件可得an+1=an.

将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.

将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.

从而b1=1,b2=2,b3=4.

(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得,即bn+1=2bn,

又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.

2.(2017全国3,文17,12分,难度★★)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

解 (1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,所以当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

两式相减得(2n-1)an=2.所以an=(n≥2).

又由题设可得a1=2,

从而{an}的通项公式为an=.

(2)记数列的前n项和为Sn.

由(1)知.

则Sn=+…+.

3.(2016全国1,文17,12分,难度★★)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{bn}的前n项和.

解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.

所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.

(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,

因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.

记{bn}的前n项和为Sn,

则Sn=.

(2016上海,文14,5分,难度★★★)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为　　　　　. 

答案 4　当n=1时,a1=2或a1=3;当n≥2时,若Sn=2,Sn-1=2,于是an=0,若Sn=3,Sn-1=3,于是an=0,从而存在k∈N*,当n≥k时,ak=0.所以要涉及最多的不同的项数列{an}可以为2,1,-1,0,0,…,从而可看出kmax=4.

 

对应学生用书起始页码P86

1.数列的通项公式:若项an与项数n之间的关系可用公式an=f(n),n∈N*来表示,则该公式叫做数列{an}的通项公式.并不是每一个数列都有通项公式,有通项公式的数列,其通项公式也不一定唯一.

2.递推公式:如果已知数列{an}的首项(或某一项),且任一项an与它的前一项(或后一项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.利用递推公式可求数列的某一项,也可用来求数列的通项公式.

3.数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=.