专题二十三 数列的综合问题-2019高考文科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题二十三　数列的综合问题 对应学生用书起始页码P97 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 51.数列求和及其应用 3年0考 ☆☆☆ 数学抽象 数学运算 1.高频考向:根据数列的递推式或者通项公式选择合适的方法求和. 2.低频考向:数列与函数相结合. 3.特别关注: 数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题. 52.与数列有关的综合问题 3年0考 ☆☆☆ 数学抽象 逻辑推理 数学运算 2016~2018 对应学生用书起始页码P97 1.(2018天津,文18,13分,难度★★★)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值. 解 (1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn==2n-1. 设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n.所以,Sn=. (2)由(1),有 T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得,+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n的值为4. 2.(2018浙江,20,15分,难度★★★★)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列{bn}的通项公式. 解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8. 由a3+a5=20,得8=20, 解得q=2或q=, 因为q>1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn, 由cn=解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1)·. 故bn-bn-1=(4n-5)·,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3. 设Tn=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2, Tn=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·, 所以Tn=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·, 因此Tn=14-(4n+3)·,n≥2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·. 3.(2017北京,文15,12分,难度★★)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2.所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=. 4.(2017天津,文18,12分,难度★★★)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*). 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2. 所以bn=2n.由b3=a4-2a1, 可得3d-a1=8. ① 由S11=11b4,可得a1+5d=16, ② 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n. (2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2, 有