专题08 圆锥曲线中的最值的问题-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题08 圆锥曲线中的最值的问题 一、题型选讲 题型一 与线段有关的最值问题 与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。 例1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C. (1) 求椭圆M的方程； (2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)； (3) 求线段AC长的取值范围． 例2、（2016南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2. (1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； (2) 若r＝. ①求证：k1k2＝－； ②求OP·OQ的最大值． 题型二 与面积有关的最值问题 与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式求解。然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。 例3、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 求 △PCD 面积的最大值． 题型三 与向量有关的最值问题 与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。 例4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M. (1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积； (2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值； ②求·的取值范围． 题型四 与坐标或参数有关的最值问题 与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。 例5、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围． 例6、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C. (1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标； (2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且＝λ，求λ的取值范围． 二、达标训练 1、(2018无锡期末） 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________． 2、(2017镇江期末）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上． (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值． 3、(2017苏北四市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N. ①当直线PA的斜率为时，求△FMN的外接圆的方程； ②设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值． 4、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q. (1) 若直线l的斜率为，求的值； (2) 若＝λ，求实数λ的取值范围． 5、(2016苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切． (1)