专题07 参数方程-2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 07 参数方程 一、考点传真： 1.了解参数方程，了解参数的意义； 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 二、知识点梳理： 1.曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＝1(a＞b＞0)＋ (φ为参数) 【注意点】　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离． 三、例题： 例1.（2019全国卷II）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P. （1）当时，求及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 例2.（2019全国卷III）[选修4-4：坐标系与参数方程] 如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧. （1）分别写出，，的极坐标方程； （2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标. 例3．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的取值范围； (2)求中点的轨迹的参数方程． 例4．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为． (1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； (2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值． 例5.（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线． (1)写出的普通方程； (2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设： ，为与的交点，求的极径． 例6．（2017江苏卷）在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值． 例7.（2016年全国卷I）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：． （I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程； （II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求a． 例8．（2016年全国卷II）在直角坐标系中，圆C的方程为． （I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率． 四、巩固练习： 1.已知椭圆C：(t为参数). ＝1，直线l：＋ (1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程； (2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标. 2.平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为. (1)求圆C和直线l的参数方程； (2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值. 3.已知曲线C1： (t为参数)， 曲线C2：(θ为参数). (1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C1上的点P对应的参数为t＝(t为参数)的距离的最小值. ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： 4．已知P为半圆C：. (θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为 (1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； (2)求直线AM的参数方程． 5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C1的一个参数方程；