专题08 不等式证明-2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 08 不等式证明 一、考点传真： 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 二、知识点梳理： 1.基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理2：如果a，b>0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. ≥ 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ≥ 2.不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a>0，b>0)：＝1⇔a＝b. <1⇔a<b；>1⇔a>b； (2)综合法与分析法 ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. ②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. 【注意点】 1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立. 3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数. 三、例题： 例1.（2019全国卷I）[选修4—5：不等式选讲] 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 例2.（2019全国卷III）[选修4-5：不等式选讲] 设，且. （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 例3．(2018江苏)D．[选修4—5：不等式选讲] 若，，为实数，且，求的最小值． 例4．（2017新课标Ⅱ）已知，，，证明： (1)； (2)． 例5．（2017江苏卷）已知，，，为实数，且，， 证明． 例6．（2016年全国卷II）已知函数，M为不等式的解集． （I）求M； （II）证明：当a，时，． 四、巩固练习： 1.已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1. (1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8； (2)证明：. ＋＋≤＋＋ 2.已知函数f(x)＝|x－1|. (1)解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6； (2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f. 3.设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证： (1)a＋b＋c≥； (2)). ＋＋(≥＋＋ 4.已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1. (1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥. 5.　已知函数f(x)＝，M为不等式f(x)＜2的解集． ＋ (1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. 6．若a>0，b>0，且. ＝＋ (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 7．已知函数f(x)＝|2x－1|－. (1)求不等式f(x)<0的解集M； (2)当a，b∈M时，求证：3|a＋b|<|ab＋9|. 8．(1)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1； (2)已知实数a>0，b>0，若a－b＝2，求证：a3＋b>8. 9.已知x，y都是正实数，且x＋y≥2. (1)求x2＋y2的最小值； (2)求证：≤2至少有一个成立． ≤2和 10.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. ＋＋ 3 $$ 2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 08 不等式证明 一、考点传真： 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 二、知识点梳理： 1.基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理2：如果a，b>0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. ≥ 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ≥ 2.不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a>0，b>0)：＝1⇔a＝b. <1⇔a<b；>1⇔