专题09 绝对值不等式-2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2020年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 09 绝对值不等式 一、考点传真： 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)； 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 二、知识点梳理： 1.绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想. 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 【注意点】 1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏. 2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件. 三、例题： 例1. （2019全国卷II）[选修4-5：不等式选讲] 已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围. 例2．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲] 已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时不等式成立，求的取值范围． 例3．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲] 设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的取值范围． 例4．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲] 设函数． (1)画出的图像； (2)当时，，求的最小值． 例5．（2017新课标Ⅰ）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集包含，求的取值范围． 例6．（2017新课标Ⅲ）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求的取值范围． 例7．（2016年全国I高考）已知函数． （I）在图中画出的图像； （II）求不等式的解集． 例8．（2016年全国III高考）已知函数 （Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集； （Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围． 四、巩固练习： 1.已知f(x)＝|x＋1|＋|x－m|. (1)若f(x)≥2，求实数m的取值范围； (2)已知m>1，若∃x∈(－1，1)使f(x)≥x2＋mx＋3成立，求实数m的取值范围. 2.已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－3a|. ①若f(x)的最小值为2，求a的值； ②若对∀x∈R，∃a∈[－1，1]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围. 3.已知函数f(x)＝的定义域为R. (1)求实数m的取值范围； (2)若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x－3|－2x≤2n－4. 4.已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a. (1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围. 5．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围． 6．设函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3. (1)若a＝1，解不等式f(x)≤4； (2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围． 7．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|. (1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集； (2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围． 8．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a