专题2.3 幂函数重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修一举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.3幂函数重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 幂函数概念】 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数. 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数. 【知识点2 幂函数的图象及性质】 1.作出下列函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【知识点3 初等函数图象变换】 基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲） 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：的图象变换， （1）平移变换 y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移 （2）对称变换 y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称 y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称 y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称 y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称 （3）翻折变换： y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分 关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数） y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象 关于x轴对称 【考点1 求幂函数解析式】 【例1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数是幂函数，且（4），则的解析式是　　． 【变式1-1】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数在上单调递减，则函数的解析式为　　． 【变式1-2】已知幂函数的图象不过原点，则的解析式为　　． 【变式1-3】（2018秋•鄂尔多斯期中）已知幂函数满足（2）（3），则的解析式为　　 【考点2 幂函数的定义域】 【例2】（2019春•杭州校级期中）已知幂函数的图象过点，则　 　；函数的定义域为　 　． 【变式2-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知幂函数为定义域是的偶函数，则实数　 　． 【变式2-2】（2019秋•武侯区校级期末）幂函数的定义域为，则　 　． 【变式2-3】若函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是　　． 【考点3 幂函数的值域】 【例3】函数的定义域是　 　，值域是　 　；奇偶性：　 　，单调区间　 　． 【变式3-1】（2019秋•清浦区校级月考）已知幂函数图象过点，则的值域为　 　． 【变式3-2】（2019秋•广陵区校级期中）幂函数的图象过点，，若函数在区间，上的值域是，，则实数的取值范围是　 　． 【变式3-3】（2019•吉安一模）若幂函数的图象经过点，则函数在，上的值域为　　 A．， B．， C．， D．， 【考点4 幂函数图象的判断】 【例4】（2019秋•监利县期末）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，四个值，与曲线、、、相应的依次为　　 A． B． C． D． 【变式4-1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数，，的图象如图所示，则实数，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【变式4-2】已知幂函数，，的图象如图，则　　 A． B． C． D． 【变式4-3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④