第三章 三角恒等变换单元总结-2019-2020学年上学期高一数学同步精品课堂（人教A版必修4）

第三章 三角恒等变换单元总结（人教A版） 一、知识整合 [自我校对] ①cos αcos β＋sin αsin β ②sin αcos β－cos αsin β ③ ④cos αcos β－sin αsin β ⑤sin αcos β＋cos αsin β ⑥ ⑦cos2α－sin2α ⑧2cos2α－1 ⑨1－2sin2α ⑩2sin αcos α ⑪ 2、 能力强化 类型一：给值求值问题 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”.使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示.②将已知条件转化而推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值. 例1、已知. ＝－<α<π，tan α＋ (1)求tan α的值； (2)求的值. 【精彩点拨】　(1)结合α的取值范围，求解tan α的值；(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan α的式子代入求值即可. [再练一题] 1.已知sin(α＋β)＝的值. ，求，sin(α－β)＝－ 类型二：三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简. 三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的. 例2、证明：＝tan θ. 【精彩点拨】　可从左边向右边证明，先把角由2θ向θ转化，再实现函数名称向tan θ转 [再练一题] 2.求证：tan . ＝－tan 类型三：三角恒等变形的综合应用 与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. (2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形.这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查. 例3、已知向量a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b. (1)若f(θ)＝0，求的值； (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域. 【精彩点拨】　(1)可先由f(θ)＝0求tan θ，再化简后，由tan θ值代入求值； (2)先化简得f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域. [再练一题] 3.已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)，且m·n＝1，且A为锐角. (1)求角A的大小； (2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域. 类型四：转化与化归的思想 三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用. 例4、已知sin的值. －β分别为第二、第三象限角，求tan和，且α－＝－，cos＝ 【精彩点拨】　先根据α－求解. －＝－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由， [再练一题] 4.已知sin α－cos α＝－. ，β∈＝，sin，α∈ (1)求sin α和cos α的值； (2)求cos的值. 三、真题检测 1.若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　) A.－　　　　　　　　 B.－ C. D. 2.函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　) A.4　　　　　　　 B.5 C.6 D.7 3.已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________. 4.已知θ是第四象限角，且sin＝________. ，则tan＝ 5.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f(x)的单调递增区间. PAGE 6 /6 $$ 第三章 三角恒等变换单元总结（人教A版）一、知识整合 [自我校对] ①cos