专题02 函数与导数综合问题（专项训练）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题02 函数与导数综合问题（专项训练） 1．(2019·河北武邑中学月考)已知函数f(x)＝2aln x－x2. (1)若a＝2，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＞0，判断函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f(x)的最大值或最小值． 2．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围． 3．已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数． (1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值； (2)当x＞0时，求证：f(x)≥a； (3)若在区间(1，e)上恒成立，求实数a的取值范围． 4．(2019·重庆一模)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋－c(a，b，c∈R)． (1)当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图像在x＝1处有相同的切线，求a，b的值； (2)当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0,3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值． 5．已知函数f(x)＝xln x－ax2，g(x)为f(x)的导数． (1)讨论函数g(x)的零点个数； (2)若函数f(x)在定义域内不单调且在(2，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 6．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2. (1)求a的值； (2)求证：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题02 函数与导数综合问题（专项训练） 1．(2019·河北武邑中学月考)已知函数f(x)＝2aln x－x2. (1)若a＝2，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＞0，判断函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f(x)的最大值或最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝4ln x－x2.f′(x)＝－2x，f′(1)＝2，f(1)＝－1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0. (2)f′(x)＝－2x＝，x>0. 令f′(x)＝0，由a>0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 当x在(0，＋∞)上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 aln a－a 单调递减 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上有最大值f()＝aln a－a，无最小值． 2．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1－或x＝－1＋.当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，在(－1－，－1＋)上单调递增． (2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0<a<1时，设函数g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数． (1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值； (2)当x＞0时，求证：f(x)≥a； (3)若在区间(1，e)上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得f′(x)＝，所以f′(2)＝＝2，所以a＝4. (2)证明：令g(x)＝a(x>0)，则g′(x)＝a. 令g′(x)>0，即a>0，解得x>1；令g′(x)<