专题06 数列的综合问题（专项训练）-2020年高考数学解答题核心素养题型突破

专题06 数列的综合问题（专项训练） 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n. 2．(2019·东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 3．(2019·南昌模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4λSn＝(an＋λ)2，其中λ＞0，且是a1，a2的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：当n≥2时，＋＋＋…＋＜. 4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn. 5．已知数列{an}满足a1＝3，－＝1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn<－4的最小自然数n. 6．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn. ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题06 数列的综合问题（专项训练） 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n. 【答案】见解析 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)，所以T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝(－2)×n＝－2n. 2．(2019·东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】见解析 【解析】(1)依题意得解得所以an＝2n＋1. (2)因为＝3n－1，所以bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，所以Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1,3Tn＝3×3＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，所以Tn＝n·3n. 3．(2019·南昌模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4λSn＝(an＋λ)2，其中λ＞0，且是a1，a2的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：当n≥2时，＋＋＋…＋＜. 【答案】见解析 【解析】(1)当n＝1时，4λS1＝(a1＋λ)2，所以(a1－λ)2＝0，得a1＝λ；当n≥2时， 4λSn－1＝(an－1＋λ)2，得4λan＝(an＋λ)2－(an－1＋λ)2，即(an＋an－1)(an－an－1－2λ)＝0.因为数列{an}的各项均为正数，所以an－an－1＝2λ，则a2＝3λ，a1a2＝3λ2，又是a1，a2的等比中项，所以a1a2＝3，由λ＞0得λ＝1，所以an－an－1＝2，a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，故an＝2n－1. (2)证明：由(1)得4Sn＝(2n－1＋1)2，即Sn＝n2，当n≥2时，＝＝，则＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝ 1＋＝1＋＝－－＜. 4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】见解析 【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn