1.2 充要条件、全称量词与存在量词（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§1.2　充要条件、全称量词与存在量词 最新考纲　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 概念方法微思考 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． 提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；[来源:学*科*网Z*X*X*K] 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个等价命题．(　√　) (3)全称命题一定含有全称量词．(　×　) (4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　√　) 题组二　教材改编 2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________． 答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形 3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案　充分不必要 题组三　易错自纠 4．(2018·郑州质检)命题“∃x0∈R，x－x0－1>0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0 C．∃x0∈R，x－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x－x0－1≥0 答案　A 5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}， ∴a≤2. 6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________． 答案　1 解析　∵函数y＝tan x在上是增函数， ∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1. ∴m的最小值为1. 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　取α＝，β＝，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立． ∴充分性不成立； 取α＝，β＝，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立． 故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件． (2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则q是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3. 所以q⇒p，p⇏q， 所以q是p的充分不必要条件，故选A. 思维升华　充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． 跟踪训练1　(1)(2018·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 答案　D 解析　非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(20