2.2 函数的单调性与最值（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§2.2　函数的单调性与最值 最新考纲　1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义[来源:学科网] 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考 1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示　对∀x1，x2∈D，>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似． 2．写出对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间． 提示　(－∞，－]和[，＋∞)． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　×　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　×　) (5)所有的单调函数都有最值．(　×　) 题组二　教材改编 2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________． 答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 3．函数y＝在[2,3]上的最大值是______． 答案　2 4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2. 题组三　易错自纠 5．函数y＝ (x2－4)的单调递减区间为________． 答案　(2，＋∞) 6．若函数f(x)＝|x－a|＋1的增区间是[2，＋∞)，则a＝________. 答案　2 解析　∵f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)， ∴a＝2. 7．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　由条件知解得－1≤a<1. 8．函数f(x)＝的最大值为________． 答案　2 解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数， 所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1； 当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2. 题型一　确定函数的单调性 命题点1　求函数的单调区间 例1　(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)． (2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________． 答案　[－1,0]，[1，＋∞) 解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 二次函数的图象如图． 由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2　讨论函数的单调性 例2　判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 解　函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1,2]上单调递增． 证明：设1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－ ＝(x2－x1)， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<