2.3 函数的奇偶性与周期性（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§2.3　函数的奇偶性与周期性 最新考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 概念方法微思考 1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？ 提示　在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)； (2)f(x＋a)＝(a≠0)； (3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)． 提示　(1)T＝2|a|　(2)T＝2|a|　(3)T＝|a－b| 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　×　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　) 题组二　教材改编 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________. 答案　－2 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______. 答案　1 解析　f＝f＝－4×2＋2＝1. 4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________． 答案　(－2,0)∪(2,5] 解析　由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三　易错自纠 5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝. 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝. 6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 答案　3 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)． ∴f(－1)＝3. 题型一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝36，解得x＝±6， 即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f(x)＝＋＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．[来源:学科网ZXXK] (2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)， 关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． 思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系． 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(