2.4 幂函数与二次函数（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§2.4　幂函数与二次函数 最新考纲　1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)[来源:学|科|网] f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性[来源:学#科#网] 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 概念方法微思考 1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件． 提示　a>0且Δ≤0. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) (2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　) (3)函数y＝是幂函数．(　×　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (5)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　) 题组二　教材改编 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A. B．1 C. D．2 答案　C 解析　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤3 C．a<－3 D．a≤－3 答案　D 解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧， ∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D. 题组三　易错自纠 4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2， f(x)＝(a∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C. 5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______． 答案　－1 解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减， ∴ymin＝2－6＋3＝－1. 6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案　> 解析　f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)， ∴m－1<0，∴f(m－1)>0. 题型一　幂函数的图象和性质 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 答案　D 解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D. 2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案　B 解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数