2.5 指数与指数函数（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§2.5　指数与指数函数 最新考纲　1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 概念方法微思考 1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为 ． 提示　c>d>1>a>b>0 2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关． 提示　当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，ax>1的解集为{x|x<0}． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)[来源:Z,xx,k.Com] (1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　) 题组二　教材改编 2．[P59A组T4]化简(x<0，y<0)＝ . 答案　－2x2y 3．[P56例6]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝ . 答案　 解析　由题意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.[来源:学_科_网] 4．[P59A组T7]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 ． 答案　c<b<a 解析　∵y＝x是R上的减函数， ∴>>0， 即a>b>1， 又c＝<0＝1， ∴c<b<a. 题组三　易错自纠 5．计算：×0＋×－ ＝ . 答案　2 解析　原式＝×1＋－＝2. 6．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝ . 答案　2 解析　由指数函数的定义可得解得a＝2. 7．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 ． 答案　(－，－1)∪(1，) 解析　由题意知0<a2－1<1，即1<a2<2， 得－<a<－1或1<a<. 8．若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________. 答案　2或 解析　若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2； 若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝. 所以，a＝2或. 题型一　指数幂的运算 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝[来源:学*科*网] C．(－2)0＝－1 D．＝ 答案　D 解析　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确． 2．计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝ . 答案　－ 解析　原式＝－2＋－＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 3．化简：·(a>0，b>0)＝ . 答案　 解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝. 4．化简：＝ (a>0)． 答案　a2 解析　原式＝ 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二　指数函数的