2.8 函数与方程（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§2.8　函数与方程 最新考纲　1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法． 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 概念方法微思考 函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？ 提示　不能． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．(　√　) 题组二　教材改编 2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 答案　B 解析　∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0 且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x)的零点在区间(2,3)内． 3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 题组三　易错自纠 4．函数f(x)＝ln2x－3ln x＋2的零点是(　　) A．(e,0)或(e2，0) B．(1,0)或(e2，0) C．(e2，0) D．e或e2 答案　D 解析　f(x)＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1)(ln x－2)， 由f(x)＝0得x＝e或x＝e2. 5．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ． 答案　(－8,1] 解析　m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m≤1. 6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 答案　C 解析　作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C. 题型一　函数零点所在区间的判定 1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)·f(2)<0， ∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象在(0，＋∞)上是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)． 2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 答案　A 解析　∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于