2.9 函数模型及其应用（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§2.9　函数模型及其应用 最新考纲　1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质[来源:学科网ZXXK] y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 概念方法微思考 请用框图概括解函数应用题的一般步骤． 提示　解函数应用题的步骤 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　×　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　) (3)不存在x0，使<x<logax0.(　×　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　) 题组二　教材改编 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 答案　D 解析　由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误． 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件． 答案　18 解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 当x＝18时，L(x)有最大值． 4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ． 答案　3 解析　设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y， 则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18， ∴当x＝3时，y最大． 5．一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是 ． 答案　[0,26] 解析　令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26]． 题组三　易错自纠 6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ． 答案　－1 解析　设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1. 7．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只． 答案　200 解析　由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当x＝8时，y＝100log39＝200. 题型一　用函数图象刻画变化过程 1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) 答案　B 解析　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 2．(2018·广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在