3.1 导数的概念及运算（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§3.1　导数的概念及运算 最新考纲　1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 1．导数与导函数的概念 (1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[来源:Z#xx#k.Com] (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 概念方法微思考 1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 提示　|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示　不一定． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　) (3)(2x)′＝x·2x－1.(　×　) 题组二　教材改编 2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝ . 答案　2e 解析　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为 ． 答案　2x－y＋1＝0 解析　∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2. ∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三　易错自纠 4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．若f(x)＝，则f′＝________. 答案　－ 解析　∵f′(x)＝， ∴f′＝－. 6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ． 答案　1 解析　∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. 又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，[来源:学,科,网] ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1. 题型一　导数的计算 1．已知f(x)＝sin ，则f′(x)＝ . 答案　－cos x 解析　因为y＝sin ＝－sin x， 所以y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x. 2．已知y＝，则y′＝________. 答案　－ 解析　y′＝′＝ ＝－. 3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ . 答案　1 解析　f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x， 由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ . 答案　－4 解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1