3.2 第1课时 导数的应用（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

§3.2　导数的应用 最新考纲　1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)． 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0 x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0 图象 极植 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 概念方法微思考 1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示　不正确，正确的说法是： 可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示　必要不充分 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　) (2)函数的极大值一定大于其极小值．(　×　) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　) 题组二　教材改编 2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案　C 解析　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数． 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________． 答案　(0，＋∞) 解析　由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________． 答案　ln x<x<ex 解析　构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x<x.同理可得x<ex，故ln x<x<ex.[来源:学科网ZXXK] 5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案　a3 解析　容积V＝(a－2x)2x,0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3. 题组三　易错自纠 6．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案　[－3,0] 解析　f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]． 7．(2018·郑州质检)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________． 答案　－4 解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]， ∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 8．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________. 答案　4 解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0