第二章 微专题一 多元变量的最值问题（课件+作业）-2020新高考数学【步步高】大一轮复习讲义（鲁京津琼）

微专题一　多元变量的最值问题 [经验分享] 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法． 一、代入减元 例1　设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 解　由2x＋8y－xy＝0得y＝，因为x，y∈R＋，所以x>8，所以[来源:学科网] x＋y＝x＋＝x＋＝x＋2＋[来源:学科网] ＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18， 当且仅当x－8＝，即x＝12时，取“＝”号． 所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18. 点评　此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y＝，代入x＋y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的． 二、等量减元 例2　设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0 B．1 C. D．3 答案　B 解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*) 则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1. 点评　此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量x，y，z之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由变到就已经应用到了代入消元，再由变到仍然用到了整体消元的思想(把当做整体)，从而寻求到了取最大值时变量x，y，z之间的关系．最后由＋－变到－＋应用到了x，y，z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题． 三、换元减元 例3　已知θ∈，不等式2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m＋1≥0恒成立，求实数m的取值范围． 解　原问题等价于：当θ∈时， 不等式m≤2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1恒成立． 令y＝2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1，θ∈， 即求函数的最小值． 令t＝sin θ＋cos θ＝sin， 因为θ∈， 所以θ＋∈，所以t∈[1，]． 又2sin θcos θ＝t2－1，[来源:学科网ZXXK] 所以y＝t2－1＋t＋1＝2－， 当t＝1(即θ＝0)时，ymin＝2. 故m≤2. 点评　此题中的sin θcos θ，sin θ＋cos θ若不加处理难以将变量统一起来．但是，观察到sin θ cos θ与sin θ＋cos θ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的． 四、整体减元 例4　已知函数f(x)＝xln x－·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点． (1)求a的取值范围； (2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2>e2. 解　(1)0<a<，过程略． (2)由题设有f′(x)＝ln x－ax，故x1，x2是方程ln x－ax＝0的两根，即ln x1＝ax1，ln x2＝ax2，不妨设x1>x2>0，则由以上两式分别相加和相减得： ln(x1x2)＝a(x1＋x2)， ln＝a(x1－x2)．[来源:Zxxk.Com] 消去a得ln(x1x2)＝·ln. 又因为要证x1·x2>e2成立，故只需证ln(x1x2)>2，即只需证·ln>2， 即证ln>2·， 即只需证ln>2·， 令t＝>1，则上式为ln t>2·. 构造函数g(t)＝ln t－2·(t>1)，则g′(t)＝>0，所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，即不等式ln t>2·成立．故x1·x2>e2. 点评　此题属于难题．由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由ln x1＝ax1，ln x2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在．[来源:Z_xx_k.Com] 以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的．可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器． $$微专题一　多元变量的最值问题 大一轮复习讲义 第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ [经验分享] 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法. 一、代入减元 例1　设x，y∈R＋，且