4.1.1 实数指数幂及其运算（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化指导】人教B版

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 课程标准 学科素养 1.理解根式的概念，掌握n次方根的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂和根式之间的相互互化． 3.掌握有理数指数幂的运算法则并推广到实数指数幂． 4.理解无理数指数幂的含义. 通过对实数指数幂的学习，达成数学抽象、数学运算的核心素养. 知识点1　根式 1．n次方根：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 2．根式：当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．[来源:学科网] 3．根式的性质：(1)n＝a；(2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|. [微体验] 1．已知m10＝2，则m等于(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．± D　[由m10＝2，所以m＝±.] 2．若m<n，则＝________. n－m　[∵m<n，∴m－n<0, ＝|m－n|＝n－m.] 知识点2　分数指数幂 1．定义：如果n 是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．对于一般的正分数，规定a＝m＝. 2．有理数指数幂的运算法则 (1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝as_t(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)s＝asbs(a>0，b>0，s∈Q)． [微体验] 1．3可化为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． D　[3＝＝.] 2．把根式a化成分数指数幂是(　　) A．(－a) B．－(－a) C．a D．－a C　[由题意可知a≥0，a·＝a·a＝a.] 知识点3　实数指数幂 实数指数幂的运算法则 (1)asat＝as＋t(a＞0，s，t∈R)． (2)(as)t＝as_t(a＞0，s，t∈R)． (3)(ab)s＝asbs(a＞0，b＞0，s∈R)． [微体验] 1．式子(a＞0)经过计算可得到(　　) A．a B．－ C． D． D　[原式＝＝＝＝a＝.] 2．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________. 　[∵10x＝3,10y＝4，∴102x－y＝＝＝.] 探究一　根式的性质 求下列各式的值： (1) ＋； (2)5＋6(b>a)． 解　(1)原式＝－7＋|5－2π|＝－7＋2π－5＝2π－12. (2)原式＝a－b＋b－a＝0. [方法总结] 1．化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简． 2．化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a. [跟踪训练1]　求下列各式的值： (1) ＋； (2)|x|－＋. 解　(1)原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. [来源:Z*xx*k.Com] (2)原式＝|x|－|x|＋1＝1. 探究二　根式与分数指数幂的互化 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)． (1)；(2)；(3)x；(4)xy. 解　(1)＝x. (2)＝＝x. (3)x＝＝ . (4)xy＝＝. [方法总结] 根式与分数指数幂互化的规律与技巧 (1)规律：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)技巧：当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出. [跟踪训练2]　下列各式正确的是(　　) A．＝(m＋n)　　　 B．2＝ab C．＝(－3) D．＝2 D　[A．(m＋n)＝，因此不正确；B．2＝b2·a－2，因此不正确；C．＝＝3，因此不正确；D．＝2×＝2，正确．] 探究三　分数指数幂的运算法则及应用 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)， (1)a2；(2) ；(3)·；(4)()2·. 解　(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.(2)原式＝ ＝＝a.(3)原式＝a·a＝a＋＝a.(4)原式＝(a)2·(ab3) ＝a·ab＝a＋b＝ab. [方法总结] 将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则进行化简．　, [跟踪训练3]　将下列各式化为分数指数幂的形式． (1)(x>0)； (2) (a>0，b>0)． 解　(1)原式＝＝ ＝＝＝＝x.[来源:Z,xx,k.Com] (2)原式＝[ab3(ab5)]＝(a·a·b3·b) ＝(ab)＝ab. 探究四　利用分数指数幂的运算法则化简、求值 计算下列各式：(1) ＋0.002－10(－2)－1＋(－)0； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)． 解　(1)原式＝(－1)×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2