4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化指导】人教B版

第二课时　指数函数性质的应用 课程标准 学科素养 1.通过具体的指数函数，归纳总结指数函数的性质、单调性及特殊点． 2.会利用指数函数的性质和图像解决与指数函数有关的问题. 通过对指数函数性质的学习，进一步提升数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 知识点1　 指数函数的单调性 当a>1时，函数y＝ax在R上为增函数； 当0<a<1时，函数y＝ax在R上为减函数. [微体验] 1．思考辨析： (1)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (2)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) (3)若a>b，则a>b .(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________. c>a>b　[∵y＝0.8x是减函数，∴0<b<a<1. 又∵c＝1.20.8>1，∴c>a>b.] 知识点2　指数不等式[来源:学_科_网Z_X_X_K] 对于形如af(x)>ag(x)(或af(x)<ag(x))的不等式， 当a>1时，转化为f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))； 当0<a<1时，转化为f(x)<g(x)(或f(x)>g(x))． [微体验] 1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1,1)　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0， ∴x<－1.] 2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. (－∞，1)　[∵0.53x－4＝3x－4＝24－3x，∴由23－2x＜24－3x，得3－2x＜4－3x，∴x＜1.] 知识点3　指数函数恒过定点 函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1) 恒过定点(m，k＋b)(满足g(m)＝0)． [微体验] 1．函数y＝ax－1－3的图像恒过定点坐标是(　　)[来源:Z,xx,k.Com] A．(1，－3) B．(1，－2) C．(2，－3) D．(2，－2) B　[令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．] 2．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________. 　[作出y＝|2x－1|的图像，如图，要使直线y＝a与图像的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. ] 探究一　比较大小 比较下列各组数的大小： (1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；(3)1.90.4,0.92.4；(4)0.60.4,0.70.4. 解　(1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，又∵1.8>1，∴函数y＝1.8x在R上为增函数．故1.82.2<1.83. (2)∵函数y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4. (4)∵在y轴右侧函数y＝0.6x的图像在函数y＝0.7x的图像的下方， ∴0.60.4<0.70.4. [方法总结] 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图像解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图像，依据底数a对指数函数图像的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图像比较大小. [跟踪训练1]　比较下列两组数的大小： (a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1且a≠2)． 解　由于a＞1且a≠2，所以a－1＞0且a－1≠1， 若a－1＞1即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数， ∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4， 若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数，∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4. 探究二　解简单的指数不等式 解下列关于x的不等式： (1)x＋5≤16； (2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)． 解　(1)∵x＋5≤16，∴2－x－5≤24. ∴－x－5≤4，∴x≥－9. 故原不等式的解集为{x|x≥－9}． (2)当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. 当a>1时，∵a2x＋1