4.6、4.7 函数的应用(二)　数学建模活动：生长规律的描述（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化指导】人教B版

4．6　函数的应用(二) 4．7　数学建模活动：生长规律的描述 课程标准 学科素养 1.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 通过对函数的应用的学习，加强数学建模、数学运算的核心素养. 知识点　建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 1．对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示(关键词：抽象概括)． 2．建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域(关键词：建模)． 3．求解函数模型，并还原为实际问题的解(关键词：解模、还原)． [微体验] 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　) A．y＝2x　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 D　[分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．] 2．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)．现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用__________作为拟合模型较好． 甲　[作出三个点，比较两个函数图像，选甲更好．] 探究一　二次函数模型 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图像的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解　(1)由题意设二次函数为y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式， 得20＝25a＋17.5.解得a＝. 所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． (2)设利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－ ＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为x＝23∈[10,25]，Q(x)取得最大值12.9，[来源:学_科_网Z_X_X_K] 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． [方法总结] 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符. [跟踪训练1]　2016年汕头市开展了一场创文行动，一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号．随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便．有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表： 每辆车月租金定价(元) 3 000 3 050 3 100 3 150 3 200 3 250 …… 能出租的车辆数(辆) 100 99 98 97 96 95 …… 若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．由上表，他决定每辆车月租金定价满足： ①为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；②不低于3 000元；③定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车．设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆． (1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数； (2)当x为何值时，租赁公司月收益最大，最大月收益是多少？ 解　(1)由表格可知，当定价为3 000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则y＝100－(x－3 000)＝－x＋160， 令y≥10，得－x＋160≥10， 得x≤150，得x≤7 500，[来源:学科网] 所以所求函数y＝－x＋160，(3 000≤x≤7 500，且x＝50k，k∈Z)． (2)由(1)知，租赁公司的月收益为f(x)， 则f(x) ＝(x－150)－50 ＝－x2＋162x－21 000 ＝－(x－4 050)2＋307 050，(3 000≤x