重庆南开中学2020届高三上学期第四次教学质量检测数学（理）试题（PDF版）

数学（理科）试题 重庆南开中学 2020 级高三第四次教学质量检测考试 数学（理科） 2019.12 1.已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的模 = 2.抛物线 的焦点到准线的距离为 3.已知全集 ，集合 ，图中阴影部分 所表示的集合为（ ） 4.已知 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是 5.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 6.已知圆 的半径为 ，圆心在 的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为 7.诗歌是一种抒情言志的文学体裁，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也 可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌 词赋，使抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳 节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯 笼几盏放光明”，则此诗歌中长街上灯笼最少几盏 8.若等边三角形 的边长为 ，点 满足 9.已知 为不等式组 表示的平面区 域内任意一点，当该区域的面积为 时，函数 的最大值是 a 数学（理科）试题 10．如图， 内角 所对的边分别为 ，且 ，延长 至 ，使 是以 为底边的等腰三角形， 当 时，边 11.已知曲线 与曲线 有公共点，且在该点处的切 线相同，则当 变化时，实数 的取值范围是 12.如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过右焦点作平行 于一条渐近线的直线交双曲线于点 ，若 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为 13.已知 . 14.已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ， 且满足： ，则椭圆 的标准方程为 . 15.已知实数 且满足 则 的最小值为 . 16.在学习导数和微积分时，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中 数列极限的概念为：对数列 ，若存在常数 ，对于任意 ，总存在正整数 ，使得 当 时， 成立，那么称 是数列 的极限，已知数列 满足： 数学（理科）试题 由以上信息可得 的极限 ，且 时， 的最小值为 . 17.已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列，令 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 . 18.已知向量 且函数 . （1）若 且 ，求 的值； （2）若将函数 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再将所得图像向 左平移 个单位，得到 的图像，求函数 在 的值域. 19.某省从 年开始将全面推行新高考制度，新高考“ ”中的“ ”要求考生从 政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下： 从 年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩 从 高 到 低 划 分 为 五 个 等 级 ， 确 定 各 等 级 人 数 所 占 比 例 分 别 为 ，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将 至 等级内的 考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到 五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为 分.具体转换 分数区间如下表： 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40] 而等比例转换法是通过公式计算： 其中 分别表示原始分区间的最低分和最高分， 分别表示等级分区间的最低分和 最高分， 表示原始分， 表示转换分，当原始分为 时，等级分分别为 假设小南的化学考试成绩信息如下表： 考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 化学 75 分 B 等级 [69，84] [71，85] 数学（理科）试题 设小南转换后的等级成绩为 ，根据公式得： ，所以 （四 舍五入取整），小南最终化学成绩为 分. 已知某年级学生有 人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩， 其中化学成绩获得 等级的学生原始成绩统计如下表： 成绩 95 93 91 90 88 87 85 人数 1 2 3 2 3 2 2 （1）从化学成绩获得 等级的学生中任取 名，求恰好有 名同学的等级成绩不小于 分的 概率； （2）从化学成绩获得 等级的学生中任取 名，设 名学生中等级成绩不小于 分人数为 ，求 的分布列和期望. 20.已知函数 （1）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （2）证明： . 21.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上 异于原点的任意一点，以 为直径作圆 ，当直线 的斜率为 时， . （1）求抛物线 的标准方程； （2）过焦点 作 的垂线 与圆 的一个交点为 ， 交抛物线于 （点 在点 之 间），记 的面积为 ，求 的最小值.