河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学（理）试题（pdf版）

20 届（高三）12 月联考理科数学试题参考答案 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分） 一．选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A C B B C A D C C 第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分） 二．填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13. 4 3 ; 14.216; 15. 4 1 3       ， ; 16. 三．解答题： 本大题共 6 小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (1)证明：因为 1 1 2 3 2 1 n n n n n a S S S n + + + = − = − ， 所以 1 2(2 1) 2 1 n n n S S n + + = − ，所以 1 2 2 1 2 1 n nS S n n + = + − ． 又 1 1a = ，所以 1 1 0 1 S =  ． ∴数列 2 1 nS n     −  是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．…………………………6 分 (2)由(1)知， 12 2 1 nnS n −= − ，所以 1(2 1) 2nnS n −= −  ． 所以 2 11 3 2 5 2 (2 1) 2nnT n −= +  +  + + −  ， ① 故 2 32 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2nnT n=  +  +  + + −  ② ①-②，得 2 11 2 (2 2 2 ) (2 1) 2n nnT n −− = +  + + + − −  2 2 1 2 (2 1) 2 (3 2 ) 2 3 1 2 n n nn n − = +  − −  = −  − − ， 所以 (2 3) 2 3nnT n= −  + ． ………………………………12 分 18. 解：（1）当 2 2PB = 时， 平面 PAD ⊥平面 ABCD， ………………………1 分 证明如下：在 PAB 中，因为 2, 2 2AB PA PB= = = ，所以 AB PB⊥ ………2 分 又 AB AD⊥ ，AD PA A= ，所以 AB ⊥平面 PAD ， …………………3 分 又 AB  平 面 ABCD ， 所 以 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD； ………………………4 分 7 64 （2）分别取线段 ,AD BC 的中点 ,O E，连接 ,PO OE ，因为 ADP 为等边三角 形，O为 AD 的中点，所以PO AD⊥ ， ,O E为 ,AD BC 的中点，所以 //OE AB , 又 AB AD⊥ ，所以OE AD⊥ ，故 POE 为二面角 P AD B− − 的平面角，所以 150POE = ， …………6 分 如图，分别以 ,OA OE 的方向以及垂直于平面 ABCD向上的方向作为 , ,x y z 轴的正 方向，建立空间直角坐标系 O xyz− ，因为 3OP = ， 150POE = ，所以 3 3 (0, , ) 2 2 P − ， (1,0,0)A ， (1,2,0)B ， ( 1,1,0)C − . 可得 (0,2,0)AB = ， 7 3 5 3 (1, ), ( 1, , ) 2 2 2 2 PB PC= − = − −, ，…………………8 分 设 ( , , )x y z=n 为 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量 ， 则 有 0, 0PB PC= =n n ， 即 7 3 0 2 2 5 3 0 2 2 x y z x y z  + − =    − + − =  ，令 1x = ，[来源:学+科+网] 可得 (1, 2, 4 3)= − −n ， ………………………10 分 设 AB 与平面PBC 所成角为，则有 | | sin | || | AB AB  = n n 2 2 2 4 2 1 ( 2) ( 4 3) = + − + − 2 53 = 所 以 直 线 AB 与 平 面 PBC 所 成 角 的 正 弦 值 为 2 53 53 .…………………………………12 分 19. 解：(1)依题设 1 2( ,0), ( ,0)A a A a− ，则 1 ( 1,0)FA a= − − ， 2 ( 1,0)FA a= − ． 由 1 2 1FA FA = − ，得：