专题四：抛物线上的线段长问题的转化与探究-2020中考数学专题突破

专题四：抛物线上的线段长问题的转化与探究 ( 专题导入 ) 导图：平面直角标中相应线段长的计算 AM= , BM= ,AB= , 导例：如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且CA＝CB．若抛物线y＝a（x﹣1）2+k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为　 ． ( 方法点睛 ) 二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，或一般的斜线类线段．在知识运过程中，相应坐标差来表示相应线段长，或由勾股定理依据两点间的距离公式来计算相应斜线段长的问题是基本的操作依据． 导图答案：，,. 导例答案：y＝﹣（x﹣1）2+　. ( 典例精讲 ) 类型一：平行于y轴的线段长的问题 例1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值． 【分析】（1）由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题． 类型二：可转化为线段长类的面积型问题 例2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组求解即可得出点Q的坐标．[来源:学科网ZXXK] ( 专题过关 ) 1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 2．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图①，直线y=kx+1(k>0)与抛物线在第一象限的部分交于点D，交y轴于点F，交线段BC于点E．求的最大值； (3)如图②，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．问:在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的最大值； （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0），B（0，﹣8）两点． （1）请求出直线AB的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，﹣2），顶点为M． （1）求b的值及直线AC的解析式；