专题七：三爪型问题的转化与构图探究-2020中考数学专题突破

专题七：三爪型问题的转化与构图探究 ( 专题导入 ) 导例:如图1，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC ． 若点A ， D ， E在同一条直线上，ACB=20°，则∠ADC的度数是（    ）. A. 55°    B. 60°      C. 65°       D. 70° ( 方法点睛 ) 题目中遇到公共端点的三爪图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决.旋转时明确旋转中心和旋转角.因此，当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决. 问题：破解策略：共顶点引发的三条（多）条线段. 1、辅助圆的方法 2、旋转的方法 当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题. 导例答案：C ( 典例精讲 ) 类型一：辅助圆类 例1．以△ABC的边AB为底作等腰三角形OAB，且∠O=2∠C，AC与OB交于点D，若OB=a，OD=a，则AD·DC= . 【分析】由∠O=2∠C，且都对应了边AB，考虑到同弧所对圆周角为圆心角的一半，因此构造一个以O以圆心，OB为半径的一个圆，从而来解决问题. 类型二:旋转全等类三爪图（由边导角，由角导边进行构造） 例2 .在等边三角形ABC中，E是三角形内部一动点. （1） 若∠BEC=150°，求AE，BE，CE三边的数量关系； （2） 若等边三角形的边长为2,且AE2=BE2+CE2，则E的运动路径是什么？并求其长度. 【分析】（1）将BE绕点A顺时针旋转60°到BE′,可得△BEE′为等边三角形，∴△ABE≌△CBE′.从而可得AE，BE，CE三边的数量关系 （2）结合（1）中所得的结论，由AE2=BE2+CE2，可得∠CEE′=90°，∴∠BEC=150°．∴点E在圆周角为150°的圆弧上运动，且圆弧所在圆的半径2，圆心角为60°，从而弧BC的长为π. ( 专题过关 ) 1.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立； （2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变； （4）MN的长不变.其中正确的个数为（ 　　）. A.4          B.3   C.2         D.1 2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）. A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 3．如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，直接写出△APC的面积为　 　． 4.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，DE，若AE=2，BE=，∠AED=135°，则DE的长为多少？正方形ABD的面积为多少？ 5.如图，矩形ABCD中，AB=BC，点P为矩形ABCD内一点，已知PA∶PC=∶1，求∠APB的度数？ 6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD． （1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD 7.等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点P为平面内一点． （1）如图1，当点P在边BC上时，且满足∠APC=120°，求的值； （2）如图2，当点P在△ABC的外部，且满足∠APC+∠BPC=90°，求证：BP=AP； （3）如图3，点P满足∠APC=60°，连接BP，若AP=1，PC=3，直接写出BP的长度． 8.（2019年十堰市）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上． （1）填空：∠CDE＝　　（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离． 9．如图，△ABC与△ADE都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，EC，且F为EC的中点． （1）如图1，若D、A、C三点在同一直线上时，请判DF与BF的关系，并说明理由； （2）如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转m°（0＜m＜90），请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断； （3）在（2）下，若△DEF与△BCF的面积之和于△DBF的面积，请直接写出m的值． 专题十一：三爪图问题探