专题十七：最短路径——阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究-2020中考数学专题突破

专题十七：最短路径——阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究 ( 专题导入 ) 导例：1.如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠CAD,若AB＝4，DB＝1，则CD＝　　． 2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值　 　． ( 方法点睛 ) 几何“PA + k·PB”型的最值问题． 已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题． 如图2所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?如图3所示，在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小(如图 4 所示)． 图2 图3 图4 “阿氏圆”解题一般步骤: (1)连接动点 P 至圆心 O(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接 OP，OB; (2)计算出所连接的这两条线段 OP，OB 的长度; (3)计算这两条线段长度的比 OP/OB= k; (4)在 OB 上取点 C，使得 OC/OP=OP/OB ，即:半径的平方 = 原有的线段 × 构造线段; (5)连接 AC 与圆 O 的交点即为点 P． 要点：如图5，构造△PAB∽△CAP，得到PA2=AB·AC，即：半径的平方=原有线段 × 构造线段 口决：路径成最短，折线变直线 导例答案：1； 2.2-1． ( 典例精讲 ) 类型一：圆中的阿氏圆问题 例1已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求CM+AM的最小值． 【分析】如何转化AM是本题的难点，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与△AEM的相似比为1：2，这样便可实现AM的转化，如下图取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=AM．显然，MN+CM的最小值就是定点N，C之间的最短路径． 类型二：与抛物线有关的阿氏圆问题 例2．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的解析式； （2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O，C，P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标； （3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A，E′B，求E′A+E′B的最小值． 【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式； （2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似； （3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出==， ，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长； 　 ( 专题过关 ) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）． A. B. 6 C. 2 D 4 2.在平面直角坐标系中，A（2，0）B（0，2），C（4，0），D（3，2），点P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°,则2PD+PC的最小值为 ． 3如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，点P为⊙B上任意一动点，则PA+PC的最小值为 ． 4.如图 9 所示，点 A，B 在⊙O 上，且 OA = OB = 6，且OA⊥OB，C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD = 4，动点 P在⊙O 上，则 PD +2PC 的最小值为 ．5.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y＝