【暑期特惠04】第08讲 导数及其应用-【邦国教育】高考数学培优专题

第八讲 导数及其应用 A组 一、选择题 1．已知 定义在 上的函数， 是 的导函数，若 ，且 ， 则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集是（ ） A． B． C． D． 答案C 解析：设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 在定义域上单调递增，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴不等式的解集为 故选：C. 2．设函数 ，其中 ，若仅有一个整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案D. 解析： ，由题意得， 的单调性为先递减后递增，故 ， 即 在 上单调递减，在 上单调递增， 又∵ ， ，∴只需 ， 即实数 的取值范围是 ，故选D. 3．（2017年高考全国3卷文）已知函数 有唯一零点，则a= A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】函数 的零点满足 ， 设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增， 当 时，函数 取得最小值，为 .[来源:学+科+网Z+X+X+K] 设 ，当 时，函数 取得最小值，为 ， 若 ，函数 与函数 没有交点； 若 ，当 时，函数 和 有一个交点， 即 ，解得 .故选C. 4.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． [来源:Zxxk.Com] 答案A 解析:因 ,故切线的斜率 ,切线方程 ，令 得 ；令 得 ，故围成的三角形的面积为 ，应选A。 5. 曲线 在点 处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 答案A 解析： ， ， ，曲线 在点 处的切线方程是 ，故选A. 二、填空题 6．已知函数 的导函数 的图象关于原点对称，则 。 答案 解析：依题意 关于原点对称， 时 为奇函数，符合题意。 7．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是______． 答案 [来源:学科网ZXXK] 解析： ，由题意 在 上有两个根，设 ，若 ，则 在 为增函数， 最多只能有一解，不合题意，故 ，当 或者 时， ， ，当 时， ， 时， ，因此 ，由题意 ，所以 ． 三、解答题 8．已知函数 其中 . （1）当 时，求 在点 处的切线方程； （2）求 的单调区间； （3）当 时，判断函数 零点的个数.（只需写出结论）. 解析： （1）当时，， ， ，所以切线方程为 . （2） 的定义域： ， ， 令 ， ， 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 的增区间为 ， 的减区间为 . 当 时， 恒成立， 在 上单调递增， 当 时， ， 或 ； ， ， 所以 的增区间为 ， ， 的减区间为 . 当 时， ， 或 ， ， ， 所以 的增区间为 ， ， 的减区间为 . （3）当 时，零点的个数为 . 9．设函数 （其中 为自然对数的底数， 且 ），曲线 在点 处的切线方程为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若对任意 ， 与 有且只有两个交点，求 的取值范围． 解析：（Ⅰ）由 ，得 ， 由题意得 ， ∵ ，∴ ； （Ⅱ）令 ，则任意 ， 与 有且只有两个交点，等价于函数 在 有且只有两个零点，由 ，得 ， ①当 时，由 得 ，由 得 ， 此时 在 上单调递减，在 上单调递增， ∵ ， ，（或当 时， 亦可），∴要使得 在 上有且只有两个零点，则只需 ，即 ， ②当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 在 上单调递减，在 和 上单调递增． 此时 ， ∴此时 在 至多只有一个零点，不合题意， ③当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ， ∴ 在 至多只有一个零点，不合题意， 综上所述， 的取值范围为 ． 10．已知 ，函数 ， . （1）求 的极小值； （2）若 在 上为单调增函数，求 的取值范围； （3）设 ，若在 （ 是自然对数的底数）上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围. 解析：（1）由题意， ， ， 所以 时， ；当 时， . 所以 在 上是减函数，在 上是增函数，故 . （2）因为 ，所以 ， 由于 在 内为单调递增函数， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 故 ，所以 的取值范围是 . （3）构造函数 ， 当 时，由 得 ， ， 所以在 上不存在一个 ，使得 . 当 时， . 因为 ，所以 ， ，所以 在 上恒成立， 故 在 上单调递增， ， 所以要在 上存在一个 ，使得 ，必须且只需 ， 解得 ，故 的取值范围是 . 另外：（3）当 时， ， 当 时，由 ，得 . 令 ，则 ，[来源:Z|xx|k.Com] 所以 在 上递减， . 综上，要在