【暑期特惠04】第16讲 古典概型与几何概型-【邦国教育】高考数学培优专题

第十六讲 古典概型与几何概型 A组 1、 选择题 1、 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数是0的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：根据计数原理，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有 个，其中个位数是0的两位数有 个，因此由古典概型可知个位数是0的概率 。 2、锅中煮有芝麻馅汤圆 个，花生馅汤圆 个，豆沙馅汤圆 个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 个的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：本题考察古典概型。由题目条件可知总的舀法为： ，而所求事件可分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆，豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率 。 3、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　) [来源:学,科,网] A．1－ B. － C. D. 【答案】：A 【解析】：本题考察几何概型以及面积的相关计算。如图设阴影部分两块的面积分别为 ， ，OA＝R，则 ， = ，故而所求概率 。 4、（2016重庆二诊理5）在区间[1，4]上任取两个数，则所取两个数的和大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：D 【解析】：在区间[1，4]上任取两个数记作（x，y），则基本事件构成集合 ，面积 ，满足条件的事件 ， 如图阴影面积 ； 故所求概率 。 二、填空题 5、 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数则这七个数的中位数是6的概率为___________。 【答案】： 【解析】：从0到9十个数字中任取七个不同的数有 种取法，要使七个数字的中位数是6，则6，7，8，9必须取，然后再从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，有 种取法，故所求概率 。 6、投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为 。 【答案】： 【解析】：投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合 。因为 ，则它为实数的等价条件是 ，又m、n均为正整数，从而m＝n。故所求事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)基本事件共6个，Ω中共有36个基本事件，则P＝。＝ 7、已知正方体 内有一个内切球O，则在正方体内任取点M，点M在球O内的概率是 。 【答案】： 【解析】：设正方体棱长为a，则正方体的体积 ，内切球的体积为 ，故点M在球O内的概率为 。 8、若区域 ，在区域M内的点的坐标为 ，则 的概率是________。 【答案】： 【解析】：本题考察几何概型及线性规划的综合应用。如图，区域M是以(－2，0)，(2，0)，(0，－2)，(0，2)为顶点的正方形，其中满足 的是直线y＝x和y＝－x所夹的如图所示的阴影部分，显然阴影部分的面积恰好是区域M面积的一半，故所求的概率为。 三、解答题 9、某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校。求这三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的概率。 【答案】： 【解析】：因为每名学生都有3种报考方法，所以5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为 种。 三所高校中每个学校都至少有一名同学报考有两种情形： （1）三所学校报名人数为3，1，1，共有 种； （2）三所学校报名人数为2，2，1，共有 种； 所以三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的方法总数为60+90=150种， 故所求概率 。 10、某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值；[来源:学&科&网] （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率. 【解析】：本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识，除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用. （1）样本均值 ； （2）样本中优秀工人为2名，频率为 ，由此估计该车间12名工人中有 名优秀工人； （3）由于