板块1 专题1 小题自检3 平面向量（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检3　平面向量 一、考情考向分析 平面向量是高考必考知识点，多以熟知的几何图形为背景，考查平面向量的基本定理的应用；以平面向量的数量积为工具考查向量共线、垂直、夹角等有关问题． 二、通关必备知识[来源:学&科&网Z&X&X&K] 1．审题思维必备 (1)看到向量的线性运算；想到三角形法则和平行四边形法则；看到向量平行，想到向量平行的条件． (2)看到向量垂直，想到其数量积为零；看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式． (3)看到向量中的最值问题，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关系求最值． 2．解题方法必备 (1)基向量法：选择一组基底向量(模和夹角已知)，用该组基底向量表示相关条件和结论，最后通过向量的数量积运算来解决． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，表示出相关向量的坐标，将问题转化为平面向量的坐标运算来解决． 三、三年真题再现 1．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3　　　 B．－2　　　 C．2　　　 D．3 C　[∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴ ＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)， ∴·＝2×1＋3×0＝2．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． B　[由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2． ∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝． ∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为．] 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b． ∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3．] 4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ A　[如图所示． ＝＋＝＋ ＝×(＋)＋(－) ＝－．] 5．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2 C． D．2 A　[ 建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)． 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD． ∵CD＝1，BC＝2，[来源:学科网ZXXK] ∴BD＝＝， EC＝＝＝， 即圆C的半径为， ∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝． 设P(x0，y0)，则(θ为参数)， 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)． ∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ． 两式相加，得λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3 ， 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3．] 6．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________． 　[由题意，得cos〈a，c〉＝ ＝＝＝．] 7．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________． 　[2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝．] 8．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 2　[方法一　|a＋2b|＝＝ ＝ ＝＝2． 方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2．] 9．(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________． －1　[如图，∵E在线段CB的延长线上，∴EB∥AD． ∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°． ∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°． 又∵AB＝2，∴BE＝2． ∵AD＝5，∴＝． ∴＝＋＝－． 又∵＝－， ∴·＝(－)· ＝·－2－2＋· ＝||·||·cos 30°－×52－(2)2 ＝×5×2×－10－12＝21－22＝－1．] 10．(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________． 　[ 图① 方法一　如图①，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA