板块1 专题1 小题自检4 简单的概率、统计问题（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检4　简单的概率、统计问题 一、考情考向分析 简单的概率、统计问题是高考的常考知识点．高考对古典概型和几何概型的考查多以互斥事件、对立事件与几何概型的计算为主；高考统计部分在小题中的考查，主要热点有随机抽样、用样本估计总体以及变量的相关性． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到古典概型问题，想到求概率公式以及求复杂的互斥事件概率的方法． (2)看到几何概型，想到数形结合． (3)看到抽样问题，想到三种抽样的定义以及适用范围和三者的区别． (4)看到频率分布直方图，想到频数与频率的区别以及计算方法和频率分布直方图中横轴与竖轴中的数据的意义． 2．解题方法必备 (1)古典概型中基本事件的求法：①列举法；②树状图法． (2)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，可借助平面区域解决问题；与体积有关的几何概型，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． (3)与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略： ①已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据． ②已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． 三、三年真题再现[来源:学科网ZXXK] 1．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　) A．0.5　　　 B．0.6　　　 C．0.7　　　 D．0.8 C　[方法1：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70， 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7．[来源:学科网ZXXK] 方法2：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图： 易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7．] 2．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 A　[中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．] 3．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是(　　) A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 A　[设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a，新农村建设前后，各项收入的对比如下表： 新农村 建设前 新农村建设后 新农村建设 后变化情况 结论 种植收入 60%a 37%×2a＝74%a 增加 A错 其他收入 4%a 5%×2a＝10%a 增加一倍 以上 B对 养殖收入 30%a 30%×2a＝60%a 增加了一倍 C对 养殖收入＋第三产业收入 (30%＋6%) a＝36%a (30%＋28%)× 2a＝116%a 超过经济收 入2a的一半 D对 故选A．] 4．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 B　[由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4.所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)<P(X＝6)， 所以Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6．] 5．(2018·全国